\extitle{5}{不定方程与Gauss数}

\section{勾 股 数}
 
\begin{exercise}
若 $(a, b, c)$ 为一本原勾股数组， $b$ 为偶数。 证明：
\begin{enumerate}[(1)]
\item $c-b$ 和 $(c-a) / 2$ 均为完全平方数。

\item%(2)
恰好 $a, b$ 之一是 3 的倍数。

\item%(3)
恰好 $a, b$ 之一是 4 的倍数。

\item%(4)
恰好 $a, b$ 之一是 5 的倍数。

\item%(5)
$c$ 只有 $4 k+1$ 型素因子。
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{solution}

\end{solution}

\begin{exercise}
证明： 满足 $f^{2}(x)+g^{2}(x)=h^{2}(x)$ 且 $(f(x), g(x))=1$ 的非零实系数多项式 $f(x)$, $g(x), h(x)$ (称为多项式本原勾股组), 可如下给出：
\[
f(x)=c\left[u^{2}(x)-v^{2}(x)\right], \quad g(x)=2 c u(x) v(x), \quad h(x)=c\left[u^{2}(x)+v^{2}(x)\right],
\]
其中 $c$ 是非零实数， 多项式 $u(x), v(x)$ 互素。
\end{exercise}

\begin{solution}

\end{solution}

\begin{exercise}
设正整数 $a, b, c$ 满足 $a^{2}+2 b^{2}=c^{2}$, 且 $(a, b)=1$. 证明： $a$ 为奇数， $b$ 为偶数， $c$ 为奇数， 且

\[
a=\left|m^{2}-2 n^{2}\right|, \quad b=2 m n, \quad c=m^{2}+2 n^{2},
\]
其中正整数 $u, v$ 互素， $u$ 为奇数。
\end{exercise}

\begin{solution}

\end{solution}

\begin{exercise}
用几何方法证明： 曲线$x^{2}+y^{2}=2$ 上的除$(1,-1)$外的有理点可惟一地表为
  \[
    x=\frac{t^{2}- 2 t - 1}{t^{2}+1}, \quad y=\frac{-t^2-2 t+1}{t^{2}+1}, \quad
    \text{其中~} t\in \QQ.
  \]
\end{exercise}

\begin{solution}
在所给曲线$C\colon x^2+y^2=2$上取点$P_0=(1,1)$.  
    将过$P_0$斜率为$t$的直线$l\colon y=t(x-1)+1$代入$x^2+y^2=2$得
      \begin{gather*}
        x^{2}+(t(x-1)+1)^{2}=  2, \quad\text{即}\\
        \left(t^{2} + 1\right) x^{2} + \left(-2 t^{2} + 2 t\right) x + t^{2} - 2 t - 1=0.
      \end{gather*}
已知一解 $x_{1}=1$, 另一解 $x_{2}$ 应满足
\[
   x_{2}=\frac{ t^2-2t-1}{t^{2}+1},
\]
即得到$l$与$C$的另一交点 $P=(x, y)$ 的坐标：
\begin{equation*}
  x=\frac{t^{2}- 2 t - 1}{t^{2}+1}, \quad y=\frac{-t^2-2 t+1}{t^{2}+1}.
\end{equation*}
其逆变换公式为
\[
  t=
\begin{cases}
  \frac{y - 1} {  x- 1 }, & \text{若$(x, y)\neq (1,1)$;}\\
  -1 & \text{否则。}
\end{cases}
\]
此二公式建立了有理数 $t \in\QQ$ 与所给曲线上的除$(1,-1)$外的有理点 $P=(x, y)$ 的一一对应。
\end{solution}

\begin{exercise}
用几何方法证明， 双曲线 $x^{2}-d y^{2}=1$ 上的有理点如下：

\[
x=\frac{d t^{2}+1}{d t^{2}-1}, \quad y=\frac{2 t}{d t^{2}-1},\quad 
\text{其中~} \frac{1}{\sqrt{d}} \neq t\in \QQ.
\]
\end{exercise}

\begin{solution}
在双曲线$C\colon x^2-d y^2=2$上取点$P_0=(1,0)$.  
    将过$P_0$斜率为$t$的直线$l\colon y=t(x-1)$代入$x^2+y^2=2$得
      \begin{gather*}
        x^{2}-d(t(x-1))^{2}=  1, \quad\text{即}\\
        \left(1-dt^{2}\right) x^{2} + 2d t^2 x -d t^{2}  - 1=0.
      \end{gather*}
已知一解 $x_{1}=1$, 另一解 $x_{2}$ 应满足
\[
   x_{2}=\frac{ dt^2+1}{dt^{2}-1},
\]
即得到$l$与$C$的另一交点 $P=(x, y)$ 的坐标：
\begin{equation*}
  x=\frac{dt^{2} + 1}{dt^{2}- 1}, \quad y=\frac{2t}{dt^{2}-1}.
\end{equation*}
其逆变换公式为
\[
  t=
\begin{cases}
  \frac{y} {  x- 1 }, & \text{若$(x, y)\neq (1,0)$;}\\
  -\frac{1}{\sqrt{d}} & \text{否则。}
\end{cases}
\]
此二公式建立了 $\frac{1}{\sqrt{d}} \neq t \in\QQ$ 与所给曲线$C$上的有理点 $P=(x, y)$ 的一一对应。
\end{solution}

\begin{exercise}
求 $y=x^{2}$ 的有理数解和 $Y Z=X^{2}$ 的整数解。
\end{exercise}

\begin{solution}

\end{solution}

\begin{exercise}
\starmark
 证明如下方程无整数解：
\[
y^{2}=x^{3}+215
\]
\end{exercise}

\begin{solution}

\end{solution}

\begin{exercise}
判断如下方程是否有整数解：
\[
  y^{2}=67 x+7.
\]
\end{exercise}

\begin{solution}

\end{solution}


\begin{exercise}
[Euler] \starmark
  设 $p$ 为任意素数， 证明以下方程无整数解：
\[
x^{3}+p y^{3}+p^{2} z^{3}=0
\]
\end{exercise}

\begin{solution}

\end{solution}



\section{Fermat 大 定 理}


  
\begin{exercise}
说明在 $n=4$ 的情形证明之后， Fermat 大定理只需对 $n=p$ 为奇素数的情形证明。
\end{exercise}

\begin{solution}

\end{solution}

\begin{exercise}
证明 $x^{4}+4 y^{4}=z^{4}$ 无非零整数解。
\end{exercise}

\begin{solution}

\end{solution}

\begin{exercise}
求 $x^{2}+y^{2}=z^{4}$ 的正整数解。
\end{exercise}

\begin{solution}

\end{solution}

\begin{exercise}
  [Catalan(卡塔兰) 猜想]
  除 $8$ 和 $9$ 之外， 无相邻素数幂。 证明 abc 猜想蕴含渐近 Catalan 定理： 
  Catalan 方程
\[
x^{m}-y^{n}=1
\]
仅有有限多个无正整数解（注记：可设 $m, n \geqslant 3$, 
因已知 $x^{m}-y^{2}=1$ 和 $x^{2}-y^{n}=1$ (非 $9-8=1$情形) 无正整数解).
\end{exercise}

\begin{solution}
  
\end{solution}

\begin{exercise}
  证明$x^4-y^4=z^2$没有非整数解。
\end{exercise}


\begin{solution}
  
\end{solution}


\section{Gauss 整数}


  
\begin{exercise}
证明：范数是积性的， 即 $N(\alpha \beta)=N(\alpha) N(\beta)$.
\end{exercise}

\begin{solution}

\end{solution}

\begin{exercise}
做带余除法判断 $7+3 \mathrm{i}|11+13 \mathrm{i}, 7+4 \mathrm{i}| 11+7 \mathrm{i}$ 是否正确。
\end{exercise}

\begin{solution}

\end{solution}

\begin{exercise}
设 $c \in \mathbb{Z}$, 证明： $c \mid m+n \mathrm{i}$ 当且仅当 $c|m, c| n$.
\end{exercise}

\begin{solution}

\end{solution}

\begin{exercise}
若 $\beta \mid \alpha$, 证明： $N(\beta) \mid N(\alpha)$. 反之是否成立?
\end{exercise}

\begin{solution}

\end{solution}

\begin{exercise}
证明： $\alpha, \beta \in \mathbb{Z}[i]$ 的最大公因子是其范数最大的公因子。
\end{exercise}

\begin{solution}

\end{solution}

\begin{exercise}
证明： $\alpha, \beta \in \mathbb{Z}[\mathrm{i}]$ 的最大公因子， 等于最小范数的非零 $\alpha x+\beta y(x, y \in \mathbb{Z}[\mathrm{i}])$.
\end{exercise}

\begin{solution}

\end{solution}

\begin{exercise}
用辗转相除法求最大公因子和 Bézout 等式：


\[
(2+i, 2-i), \quad(3+4 i, 3-4 i), \quad(2+11 i, 10+5 i), \quad(11+3 i, 8-i)
\]
\end{exercise}

\begin{solution}

\end{solution}

\begin{exercise}
定义 Gauss 整数的同余关系： $\alpha \equiv \beta \left(\mod \gamma\right)$ 当且仅当 $\gamma \mid(\alpha-\beta)(\gamma \neq 0)$. 证明：


\begin{enumerate}[(1)]
\item $\alpha x \equiv 1 \left(\mod \gamma\right)$ 有解当且仅当 $(\alpha, \gamma)=(1)$ ，且此时有唯一解。

\item%(2)
设 $\pi$ 为 Gauss 素数， $\pi \nmid \alpha$, 则 $\alpha x \equiv 1 \left(\mod \pi\right)$ 有唯一解。
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{solution}

\end{solution}


\section{Gauss 素数与二平方和}
 
  
\begin{exercise}
Gauss 素数的范数有几种情形?
\end{exercise}

\begin{solution}

\end{solution}

\begin{exercise}
Don Zagier 曾给出 Fermat 二平方和定理的 “一句话证明”如下：

“设素数 $p \equiv 1 \left(\mod 4\right)$, 集合 $S=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{N}^{3}: x^{2}+4 y z=p\right\}$ 在对合变换
\[
(x, y, z) \mapsto \begin{cases}(x+2 z, z, y-x-z), & \text { 如果 } x<y-z, \\ (2 y-x, y, x-y+z), & \text { 如果 } y-z<x<2 y, \\ (x-2 y, x-y+z, y), & \text { 如果 } x>2 y\end{cases}
\]
下恰有一个不动点， 故 $S$ 有奇数个元素， 在对合变换 $(x, y, z) \mapsto(x, z, y)$ 下也有不动点，证毕”. 试解释此证明并求出两次变换的不动点。
\end{exercise}

\begin{solution}

\end{solution}


\begin{exercise}
 $C=5,5^{2}, 5^{3}$ 时， 分别按定理 3 和定理 4 的证明， 验证定理， 将 $C$ 表为二平方和。
\end{exercise}

\begin{solution}

\end{solution}

 \begin{exercise}
 $C=2 \cdot 5^{2}, 2 \cdot 5^{3}$ 时， 分别按定理 3 和定理 4 的证明， 验证定理， 将 $C$ 表为二平方和。
\end{exercise}

\begin{solution}

\end{solution}

 \begin{exercise}
  $C=2 \cdot 5^{2} \cdot 13^{2}$ 时， 按定理 3 和定理 4 的证明， 验证定理， 并将 $C$ 表为二平方和。
\end{exercise}

\begin{solution}

\end{solution}

  

\begin{exercise}
证明：若 $n$ 可表为三个整数的平方和， 则 $n \neq 7 \left(\mod 8\right)$.
\end{exercise}

\begin{solution}

\end{solution}

\begin{exercise}
证明：若 $n$ 可表为三个整数的平方和， $4 \mid n$, 则 $n / 4$ 也为三平方和。
\end{exercise}

\begin{solution}

\end{solution}

\begin{exercise}
证明： $n=4^{c}(8 k+7)$ 不是三平方和。
\end{exercise}

\begin{solution}

\end{solution}


\section{四平方和，勾股数与 Gauss}

  
\begin{exercise}
设 $a, b, c$ 为本原勾股数组， $a$ 为奇数。 证明： $a+b \mathrm{i}$ 和 $a-b \mathrm{i}$ 均为 $\mathbb{Z}[\mathrm{i}]$ 中平方数。 （故求勾股数 $a, b, c$ 的 Euclid 公式表示相当于求 $a+b \mathrm{i}$ 的平方根。)
\end{exercise}

\begin{solution}

\end{solution}

\begin{exercise}
求 $5+12 \mathrm{i}$ 的平方根 (在 $\mathbb{Z}[\mathrm{i}]$ 中).
\end{exercise}

\begin{solution}

\end{solution}

\begin{exercise}
$\mathbb{Z}[x]$ 中 $x^{2}+b x+c$ 与 $x^{2}+b x-c$ 何时均可分解?（所有多项式均整数系数。)
\end{exercise}

\begin{solution}

\end{solution}

\begin{exercise}
用 Gauss 整数方法讨论 $x^{2}+y^{2}=2$ 的有理数解 (和 $x^{2}+y^{2}=2 z^{2}$ 的整数解).
\end{exercise}

\begin{solution}

\end{solution}


